Este foi o título de um mini-curso que acabei de ministrar durante o Quinto Encontro da RPM (Revista do Professor de Matemática), realizado em Salvador nos dias 3 e 4 de junho de 2011. O grupo de participantes era relativamente pequeno, em torno de 30 pessoas, o que nos permitiu trocar ideias e fazer com que as duas sessões de 90 minutos de duração fossem bem participativas, especialmente a segunda, na qual discutimos soluções para uma pequena lista de problemas distribuída na véspera.
Devido a dificuldades técnicas, não consegui exibir a apresentação que tinha preparado, e prometi aos participantes que a publicaria, em vídeo, aqui. Ei-la:
É bom lembrar que a apresentação foi criada como apoio a minhas explicações durante as aulas, e portanto boa parte dela talvez não faça sentido sozinha.
Publico aqui, também, a lista de problemas que utilizamos. A maioria não foi resolvida em sala, portanto seria muito bom que os participantes e/ou demais leitores apresentassem aqui suas soluções para discussão.
Lista de Problemas sobre Infinito
oi Luciano,
ResponderExcluirAntes de colocar alguma proposta de solução, gostaria de parabenizá-lo pelo excelente mini-curso. Sua didática e entusiasmo são excelentes.
Grande abraço,
sergio
Bem, na questão 1(e), eu acredito que as sequências possam ser infinitas. Neste caso, acho que voce chegou a provar em sala, usando o argumento da diagonal de Cantor, que o conjunto seria não-enumerável.
ResponderExcluirEu acredito que o item 1(f) cai na mesma situação: Cada número no intervalo pode ser visto como uma sequência (possivelmente infinita) de 0s e 2s. Assim, trocando o n-ésimo "bit" (0 ou 2, neste caso, ao invés de 0 ou 1) do n-ésimo número, sempre podemos gerar um número que não está na lista.
Na questão 2, minha bijeção ficou distinta da apresentada em sala de aula. Mais uma vez, eu tentei usar aquele zig-zag do Cantor.
ResponderExcluirSeja o domínio NxN
(vou considerar que 0 é natural para facilitar as contas):
(0,0) (0,1) (0,2)...
(1,0) (1,1) (1,2)...
(2,0) (2,1) (2,2)...
Usando o zig-zag um pouco diferente do que está na sua apresentação, eu associo:
(0,0) -> 0; (0,1) -> 1; (1,0) -> 2
(0,2) -> 3; (1,1) -> 4; (2,0) -> 5
...
Assim, a linha do tipo (0,b) é mapeada no natural b(b+1)/2 (determinado por inspeção e provado por indução). Generalizando, o elemento (a,b) seria mapeado em a + (b+a)(b+a+1)/2.
Não cheguei a provar a indução, mas até onde eu fui, funcionou.
Oi Luciano. Há muito tempo eu não entrava no seu blog. Gostei muito do título dessa sua postagem e pensei que fosse uma daquelas reflexivas. Claro que é reflexiva, mas no campo da matemática.
ResponderExcluirTenho muitas perguntas a fazer sobre o tema, mas não sei se poderiam ser respondidas pela matemática. Vou lembrar de algumas e, mais tarde, vou postar aqui.
E fica a sugestão de você escrever algo filosófico, sociológico, antropológico, psicológico, enfim, como era no início do blog :-)
Abração, Rufino
Olá, Professor Luciano.
ResponderExcluirHá algum tempo venho vendo suas aulas através pelos vídeos disponibilizados no site do IMPA. Gostaria de lhe elogiar pela alta qualidade em suas aulas e de dizer que continue com as postagens em seu blog.
Meus parabéns!
Um texto sobre esse assunto no meu blog
ResponderExcluirhttp://marathoncode.blogspot.com/2012/02/conhecimento-perigoso-parte-i.html
quero que me ensina um pouco de matematica
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